Ondelettes de Haar (DWT)

Voir une image à plusieurs échelles

La transformée en ondelettes discrète (DWT) réécrit une image comme une version réduite et les détails qu'il faut lui ajouter pour la retrouver. Avec l'ondelette de Haar, la plus simple, chaque paire de pixels voisins $(a, b)$ devient :

Appliquée aux lignes puis aux colonnes, l'opération découpe l'image en quatre sous-bandes :

On recommence sur LL pour obtenir le niveau suivant : c'est l'analyse multirésolution. Le facteur $\sqrt 2$ rend la transformée orthonormale : l'énergie (somme des carrés) est conservée, et la transformée inverse reconstruit l'image exactement.

Pourquoi cela compresse

Dans une image, les zones unies dominent : presque tous les coefficients de détail sont proches de zéro, et l'essentiel de l'énergie se concentre dans LL. On peut donc mettre à zéro les petits détails sans changer visiblement l'image. Baissez le curseur des coefficients gardés et suivez le PSNR :

Au-dessus de 40 dB, la différence est invisible ; vers 30 dB, des blocs apparaissent le long des arêtes — la signature de l'ondelette de Haar, que des ondelettes plus régulières (Daubechies, CDF 9/7 de JPEG 2000) atténuent.

Au-delà de la compression

La même décomposition sert à débruiter (le bruit se répartit dans les petits coefficients de détail, qu'un seuillage supprime), à détecter des contours à plusieurs échelles et à construire des descripteurs de texture. En vision par ordinateur, les sous-bandes LL/LH/HL/HH servent aussi d'entrées ou de couches de sous-échantillonnage sans perte dans certains réseaux de neurones.